È una formula comunemente conosciuta. Si dice che Gauss l'abbia scoperta a 9 anni (anche se non si sa quanto sia vero), ma proviamo a ricavarla con un po' di ragionamento.
Diciamo che vuoi sommare i numeri da 1 a 99. Ti accorgi del seguente fatto:
Codice:
1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 <= sequenza da sommare
99 + 98 + 97 + ... + 3 + 2 + 1 <= sequenza da sommare scritta in ordine inverso
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100 + 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100 <= somma delle due sequenza precedenti
Ah! Ma la sequenza da sommare e la sequenza da sommare scritta in ordine inverso, per la commutatività dell'addizione, sono la stessa sequenza. Quindi quel 100 + 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100, ovvero 99 volte 100, non è altro che due volte la sequenza da sommare: il doppio della somma dei numeri da 1 a 99. Di conseguenza la somma dei numeri da 1 a 99 non è altro che 99 * 100 / 2.
Generalizziamo il tutto e ci ritroviamo con:
Codice:
1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n <= sequenza da sommare
n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1 <= sequenza da sommare scritta in ordine inverso
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(n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) + (n+1) <= somma delle due sequenza precedenti
una sequenza che somma n volte n+1 (ovvero n * (n+1)) che da come risultato il doppio della somma dei numeri da 1 ad n. Quindi la somma dei numeri da 1 ad n è uguale a n * (n+1) / 2.