Domanda Risolto Ragionamento algoritmo

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Stefano011

Utente Bronze
10 Dicembre 2020
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E' un esercizio già svolto,però non riesco a capire come è stata stabilita la formula 1+2+.......n=[n(n+1)]/2. Non riesco proprio a capire com'è il meccanismo di ragionamento
 

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È una formula comunemente conosciuta. Si dice che Gauss l'abbia scoperta a 9 anni (anche se non si sa quanto sia vero), ma proviamo a ricavarla con un po' di ragionamento.

Diciamo che vuoi sommare i numeri da 1 a 99. Ti accorgi del seguente fatto:
Codice:
  1 +   2 +   3 + ... +  97 +  98 +  99  <= sequenza da sommare
 99 +  98 +  97 + ... +   3 +   2 +   1  <= sequenza da sommare scritta in ordine inverso 
---------------------------------------
100 + 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100  <= somma delle due sequenza precedenti
Ah! Ma la sequenza da sommare e la sequenza da sommare scritta in ordine inverso, per la commutatività dell'addizione, sono la stessa sequenza. Quindi quel 100 + 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100, ovvero 99 volte 100, non è altro che due volte la sequenza da sommare: il doppio della somma dei numeri da 1 a 99. Di conseguenza la somma dei numeri da 1 a 99 non è altro che 99 * 100 / 2.

Generalizziamo il tutto e ci ritroviamo con:
Codice:
    1 +     2 +     3 + ... + (n-2) + (n-1) +     n  <= sequenza da sommare
    n + (n-1) + (n-2) + ... +     3 +     2 +     1  <= sequenza da sommare scritta in ordine inverso 
---------------------------------------------------
(n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) + (n+1)  <= somma delle due sequenza precedenti
una sequenza che somma n volte n+1 (ovvero n * (n+1)) che da come risultato il doppio della somma dei numeri da 1 ad n. Quindi la somma dei numeri da 1 ad n è uguale a n * (n+1) / 2.
 
È una formula comunemente conosciuta. Si dice che Gauss l'abbia scoperta a 9 anni (anche se non si sa quanto sia vero), ma proviamo a ricavarla con un po' di ragionamento.

Diciamo che vuoi sommare i numeri da 1 a 99. Ti accorgi del seguente fatto:
Codice:
  1 +   2 +   3 + ... +  97 +  98 +  99  <= sequenza da sommare
99 +  98 +  97 + ... +   3 +   2 +   1  <= sequenza da sommare scritta in ordine inverso
---------------------------------------
100 + 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100  <= somma delle due sequenza precedenti
Ah! Ma la sequenza da sommare e la sequenza da sommare scritta in ordine inverso, per la commutatività dell'addizione, sono la stessa sequenza. Quindi quel 100 + 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100, ovvero 99 volte 100, non è altro che due volte la sequenza da sommare: il doppio della somma dei numeri da 1 a 99. Di conseguenza la somma dei numeri da 1 a 99 non è altro che 99 * 100 / 2.

Generalizziamo il tutto e ci ritroviamo con:
Codice:
    1 +     2 +     3 + ... + (n-2) + (n-1) +     n  <= sequenza da sommare
    n + (n-1) + (n-2) + ... +     3 +     2 +     1  <= sequenza da sommare scritta in ordine inverso
---------------------------------------------------
(n+1) + (n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) + (n+1)  <= somma delle due sequenza precedenti
una sequenza che somma n volte n+1 (ovvero n * (n+1)) che da come risultato il doppio della somma dei numeri da 1 ad n. Quindi la somma dei numeri da 1 ad n è uguale a n * (n+1) / 2.
Grazie mille, te darei un nobel
 
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