Sì ma è raro che una rete non si interfacci con internet, a parte casi specifici in genere si interfacciano tutte con internet (non direttamente ma tramite proxy).
Server ne esistono di tanti tipi: il più classico è il Web Server come da te citato, ma ad esempio un server fondamentale quando si parla di Active Directory è il Domain Controller. Questo è il "fulcro" dell'Active Directory, è il server che si occupa di gestire l'autenticazione e le configurazioni tutti i PC collegati alla rete AD. Ci sono poi i server DNS, che appunto hanno la funzione di DNS all'interno della rete, ci sono i server VPN che gestiscono le autenticazioni degli utenti, ci sono i server MSSQL che fungono da Database, insomma, ci sono davvero tante tipologie diverse